Geometría y Trigonometría Espectacular

 ¿Has visto alguna vez un panal de abejas? Fíjate en la estructura del panal, siguen un patrón muy interesante. El panal está formado por hexágonos. ¡Sí una figura geométrica! Ese patrón tan hermoso que podemos apreciar, tiene nombre matemático. Se llama TESELACIÓN . Se trata de cubrir una superficie sin que las figuras se superpongan unas con otras, ni queden espacios en blanco entre ellas. Pero ¿Por qué hexágonos? Bueno, creo que nuestras abejitas saben que no todas las figuras pueden teselar, solamente: hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros. Sin embargo ellas eligieron la de seis lados, porque es la que mejor optimiza el área, y además, crean estructuras más fuertes. No cabe duda que la naturaleza está llena de Matemáticas.

 A Euclides, se le considera el "Padre de la Geometría". Este título, se le otorga de manera muy merecida, especialmente por su obra "Los Elementos" , una de las obras científicas más conocidas en el mundo, considerándose el único libro capaz de competir por la biblia. Si bien, muchos científicos reconocidos quedaron maravillados ante las recopilaciones de Euclides ,   "Fue uno de los grandes eventos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor". Bertrand Russell Se trata de un tratado matemático y geométrico compuesto por trece libros , que dan origen a lo que hoy conocemos como geometría euclidiana. Dos mil años después, seguimos utilizando sus postulados y teoremas.

 Si bien, sabemos que la historia estudia los hechos del pasado, se ha considerado por mucho tiempo como parte de las asignaturas "humanistas" y muchas veces se le ha apartado de la ciencia. Sin embargo, la historia es la que ha marcado la evolución de esta misma. Por ejemplo, hay muchos conceptos que conocemos por "sentido común" , que se han transmitido de generación tras generación, pero esas pequeñas cápsulas culturales que se transmiten, van creando intrigas que más adelante se convertirán en grandes preguntas científicas.  Es por ello, que apartar la ciencia y la historia no es la mejor decisión. Enfocándonos en la geometría, en cualquier civilización que estudiemos, podremos observar prácticas donde ya se hacía uso del pensamiento geométrico solo que de una manera "informal". Pero estos pensamientos informales han dado grandes avances en la actualidad. Ejemplo de ello, es el libro de "Los Elementos de Euclides"    que es una recopilación d...

 Las figuras geométricas tienen diversas clasificaciones, por ejemplo, por la medida de sus lados , de sus ángulos, forma, etc.  Generalmente aislamos una clasificación de la otra, cuando en realidad una figura pertenece a varias clasificaciones. Es el caso de los triángulos equilátero e isósceles. Un triángulos equilátero, es también isósceles porque tiene dos lados iguales. Solemos también confundir el término "cuadrilátero" con "cuadrado". Cuando cuadriláteros hace referencia a una gama muy extensa de figuras , cuya característica principal es que "tienen cuatro lados". Así, hay distintos conceptos que confundimos. Es por ello, que se recomienda realizar actividades que inviten al estudiante a pensar y relacionar.

 Cuando vemos física, nos acostumbramos a utilizar un montón de fórmulas que vienen ya definidas en los libros de texto. Pero, no sabemos de donde nacen esas fórmulas. La física y la geometría , van muy de la mano. Especialmente cuando llegamos al tema de dinámica, donde mezclamos vectores, trigonometría y geometría. Es importante saber relacionar los diagramas de cuerpos libres utilizando un pensamiento geométrico. Debemos de probar la veracidad de las "fórmulas" y no solo utilizarlas para sustituir datos. El pensamiento geométrico nos permite realizar estas demostraciones, y , a la vez comprender de mejor manera lo que estamos realizando, el "por qué" se hace de esa manera.

 Cuando impartíamos nuestras clases presenciales, se nos decía que debíamos dividirlas en tres fases: inicial, desarrollo y cierre. La inicial, era para explorar conocimientos previos de nuestros estudiantes. En el desarrollo, creábamos puentes cognitivos para luego dar nuevos contenidos. En la última fase, cierre, generalmente se hacían actividades integradoras  y se procedía a evaluar el aprendizaje. Es muy importante que en la virtualidad, no se nos olvide que también debemos desarrollarlas. Y hoy más que nunca, tenemos a la mano muchos recursos para hacerlo. De igual forma, cuando subamos contenido a nuestra aula virtual, hagámoslo organizándolo en estas etapas, para que el estudiante pueda desarrollar las actividades de clase de forma secuencial.

 Las gráficas de las funciones trigonométricas, nos sirven para visualizar de mejor forma los posibles valores de la función. Por ejemplo, si realizamos la gráfica de la función seno y medimos con una regla la altura de la altura de los "valles" y "picos" podremos observar que la función no puede pasarse del valor "1".  La gráfica de la función coseno, al igual que la función seno, es periódica y sus valores están definidos. En el caso de la secante y cosecante, por ser inversas se convierten en un cociente. Y, por eso es que sus gráficas presentan saltos, ya que, no están definidas para aquellos valores en los cuales seno y coseno son iguales a 0. Estos puntos, se representan como asíntotas en las gráficas. Al contrario de las funciones seno y coseno, la función tangente si presenta saltos en su gráfica, es decir, tiene valores indefinidos. Esto, debido a que es originalmente un cociente (y/x) , cuyo valor no existe cuando x=0.

 Se denomina circunferencia unitaria al conjunto de puntos del plano que se encuentran a la misma distancia , cuya característica es que su centro está en el origen y tiene radio 1.  ¿Alguna vez has utilizado las funciones trigonométricas? Bien, considero que la respuesta a la pregunta anterior es SÍ. Sin duda, todos en nuestro ciclo de educación básica utilizamos las famosas funciones trigonométricas, especialmente las más comunes: seno , coseno y tangente. Se nos enseña a utilizarlas en razón de los catetos y la hipotenusa. Es decir, aprendemos a aplicarlas y en muchas ocasiones las "memorizamos". La circunferencia unitaria, nos ayuda a definir las estas funciones. ¿Cómo es posible si estas se usan en triángulos?, esta es una de las preguntas que pueden salir a la luz, ¿Cómo relacionar la circunferencia con triángulos rectángulos? Un conjunto de triángulos rectángulos con hipotenusa 1, juntando sus vértices nos permiten construir una circunferencia unitaria, donde, el radio...

 Moodle, es una plataforma integrada que permite crear espacios de aprendizaje. Generalmente, se le utiliza para subir y revisar tareas, cuando en realidad este recursos tiene una gama de opciones que conociéndolos y sabiéndolos utilizar, son un apoyo magnífico para las clases, especialmente para programar actividades asincrónicas.  Parte importante de crear un curso virtual, es configurar la "primera impresión". Esto quiere decir, que nuestra página debe ser llamativa, debe despertar en nuestros estudiantes el interés por explorarla, esto, podemos lograrlo insertando imágenes, textos y videos animados. Debemos asegurarnos que el contenido esté distribuido de manera ordenada. La plataforma incluye la opción "secciones" , estas nos permiten subir recursos de manera lógica y secuencial, y así, evitar la frustración de buscar entre un caótico cúmulo de información. Para que una plataforma virtual sea exitosa, sin duda debemos aprender a utilizarla y sacarle el máximo p...

                                                       Para resolver lo que se nos indica, dado que el segmento AB es paralelo al segmento ED, podemos usar el siguiente teorema: "Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a estos proporcionalmente" , para determinar lo siguiente: A partir de esto, tenemos: De esta manera, observamos la importancia de conocer los teoremas. En este ejemplo concreto, nos dio la base para deducir las medidas de los otros segmentos, hasta llegar al que se nos pedía encontrar. Sin embargo, sin conocer el teorema, se nos hubiese hecho muy difícil abordar una solución.

 Antes de abarcar la semejanza , debemos conocer el significado del término "razón" y "proporción". Una razón, es la comparación entre dos cantidades que tienen una misma unidad de medida. Las siguientes son ejemplos de razones:  Hay dos cantidades comparadas entre sí. La razón está representada como el cociente entre esas cantidades. Una proporción,  es la igualdad entre dos razones. Así: Podemos corroborar la proporción realizando el cociente y corroborando que el resultado sea el mismo en ambos lados. O bien , también podemos hacer una nueva razón, multiplicando entre sí extremos y medios y corroborando que el resultado sea la unidad. Aclarado estos conceptos, podemos decir que dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y los lados homólogos son proporcionales.

 El término congruencia, generalmente se ha utilizado de manera errónea. Por ejemplo, decir que dos figuras "son congruentes" , es lo mismo que afirmar que dos figuras "son iguales", utilizamos estas  expresiones como sinónimos, cuando la verdad no lo son. También , un error muy común en matemática es utilizar la palabra "semejanza" como sinónimo de congruencia. Geométricamente hablando son cosas muy distintas. Hoy definiremos el término congruencia: Este término tiene que ver con las medidas. Por ejemplo: 2 segmentos son congruentes si tienen la misma longitud : 2 ángulos son congruentes si tienen la misma medida: Podemos entonces afirmar que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, ya que, miden lo mismo. Aplicando las dos definiciones anteriores podemos llegar a la conclusión: Dos triángulos son congruentes si hay correspondencia entre sus vértices , de tal forma que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes ( es decir, q...

 A continuación se presentan una serie de construcciones que se pueden realizar utilizando compas, regla y transportador. 1. Replicación  de un ángulo : Es posible replicar un ángulo sin necesidad de usar un transportador. Usando regla y compás podemos dibujar dos ángulos congruentes. ¿Increíble no? 2. Replicación de un segmento : Con ayuda de un compás, podemos replicar un segmento sin necesidad de utilizar una regla graduada.  3. Trazo de la Bisectriz de un ángulo : Trazamos la bisectriz con ayuda de nuestro compás trazando semicírculos. 4. Trazo de una recta perpendicular y también de una mediatriz 5. Trazo de triángulos: Es increíble la cantidad de construcciones geométricas que podemos realizar sin utilizar "medidas establecidas". Podemos obtener figuras congruentes usando procedimientos geométricos. Es muy útil conocer estas estrategias, porque no siempre tendremos a la mano una "regla graduada"  para trazar figuras, y, aunque la tuviéramos sería más provechos...

 El uso de herramientas en clase de geometría, es de suma importancia. Permite a los estudiantes construir por sí mismos las figuras que generalmente ya vienen impresas en los libros. Actualmente, el uso de herramientas como compás, regla y transportador se ha dejado de lado. En exámenes de geometría se suelen colocar imágenes y pedir al estudiante que "calcule" lo que se le pide con las medidas proporcionadas. Suelen ser ejercicios directos, mecánicos.  Si cambiamos ese tipo de ejercicios a otros que en realidad incentiven al estudiante a pensar y construir por su propia cuenta, seguramente la calidad del aprendizaje mejorará. Por ejemplo, pueden plantearse preguntas como: ¿Es posible construir un triángulo con lados de medida: 6 , 5 y 4 cm? Si es así, demuéstrelo usando su regla y compás. Este tipo de ejercicios, requerirá involucrar mas habilidades y no solo la "memorización". Se demostrará que el estudiante comprende lo que está realizando y no solamente está me...

 Cuando hablamos de conceptos matemáticos, en general estamos acostumbrados a aplicarlos sin conocer verdaderamente el fundamento o sin hacernos la pregunta ¿Por qué es esto así? . Mucho más importante que desarrollar una fórmula o aplicarla, es saber demostrarla, conocer su origen.  Para realizar una demostración, debemos tener en cuenta varios conceptos como los siguientes: Axioma: Un axioma, es una verdad universalmente válida, es decir, no necesita demostración. Teorema: Es una proposición que puede ser demostrada lógicamente a través de axiomas. Con estos dos primeros conceptos podemos ver que es imposible realizar una demostración si no tenemos las bases para hacerla, es decir, los axiomas. Ahí reside la importancia de profundizar en cada tema. Luego tenemos el corolario , estos se derivan de las demostraciones. Es el resultado directo de un teorema que ya ha sido demostrado.  Por Ejemplo, del teorema: " En un triángulo rectángulo se cumple que c²=a²+b², donde a, ...

 ¿Qué es un entorno virtual? Un entorno virtual también conocido por las siglas (VLA) hace referencia al conjunto de herramientas tecnológicas que permiten la interacción virtual entre distintas personas. En el área de educación, se conocen como entornos virtuales de aprendizaje. Estos entornos, permiten el intercambio de información de manera colaborativa y digital con el fin de construir aprendizajes significativos. COMENTARIO:   En la actualidad, derivado de la pandemia , el tema de los entornos virtuales se ha vuelto de carácter primordial. Especialmente en el área educativa.  La situación que vivimos , nos ha impedido seguir con el proceso educativo de manera presencial, por lo que, nos hemos visto en la necesidad de adaptar nuestro proceso a un medio virtual. Ha sido y sigue siendo un reto bastante grande, especialmente para todos aquellos docentes y estudiantes que no tienen acceso a herramientas tecnológicas , caso que en nuestra Guatemala presenta la mayoría....

 COMENTARIO:    Como docentes , podemos observar a diario una situación preocupante que se da en los salones de clases. Especialmente, cuando se trata del área de matemática. En la mayoría de casos, los docentes buscan mostrar conceptos y cálculos demasiado complejos, sin antes determinar si los estudiantes tienen las bases necesarias para comprenderlos. Si no hay cimientos, una casa se desploma, lo mismo sucede con el aprendizaje. Frente a estas situaciones, podemos encontrar un modelo que nos propone una serie de niveles que se deben ir alcanzando de manera progresiva, teniendo como meta llegar hasta el final , para que el aprendizaje y comprensión sea completo e integral. El MODELO DE VAN HIELE . Este modelo, se enfoca especialmente en el área de geometría. Realmente , poco conocen los docentes y estudiantes acerca de esta rama de la matemática, su conceptualización se ha reducido por mucho tiempo a "figuras, áreas y perímetros". Cuando en realidad, la geometría es un ...

  "No hay camino real hacia la Geometría" POSTULADOS DE LOS ELEMENTOS: Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Dado un  segmento  de línea recta, puede dibujarse un  círculo  con cualquier centro y distancia. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado de las paralelas . Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. ¿SABÍAS QUE?  La geometría se ha utilizado en muchas ocasiones para demostrar y ejemplificar conceptos matemáticos como: los números irracionales. Echemos un vistazo a esta preciosa demostración que nos proporciona la Universidad del Rosario👀 :  https://drive.google.com/file/d/1cq_1CQXNFAzxrg6hbFE0xDDRnDX_EIHb/view?usp=s...